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天津工业大学2006年考研大纲（数学一，实变函数，常微分方程）

http://www.ezkaoyan.com 2006-4-18

实变函数（满分20分）：
一、考试的总体要求
实变函数是近代分析数学的基础，考试以实分析的基本知识为主，掌握集合论初步、可测集合及可测函数与勒贝格积分的定义、性质及相关定理。
二、考试内容及比例
集合及其运算、映射、集合的基数、可数集、开集、闭集、内部、闭包、完备集等。占30%。
点集的Lebesgue测度，可测集的性质，可测函数，可测函数的几个重要定理，以及Lebesgue积分的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理等。70%。
三、试卷题型及比例
填空题与判断题占50%，证明题占50%。
四、参考书
1、《实变函数论》，江泽坚，高等教育出版社，1994年。
2、《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社，1979年。
3、《实变函数与泛函分析》，程其襄等，高等教育出版社，1983年。

常微分方程（满分20分）：
一、基本要求：
1. 绪论
1．熟练掌握物理过程的数学建模；
2．熟练掌握微分方程的基本概念；
2. 一阶微分方程的初等解法
1．熟练掌握变量可分离方程及可化为变量可分离方程的求解；
2．熟练掌握线性方程的概念及常数变易法的使用；
3．熟练掌握恰当方程的判定，掌握积分因子的计算；
4．熟练掌握一阶隐方程的求解及参数表示；
3. 一阶微分方程解的存在定理
1．熟悉、理解解的存在唯一性定理的证明与简单应用；
2．熟悉、理解解的延拓定理的证明与简单应用；
3．理解解对初值的连续性和可微性定理的证明与简单应用；
4．熟悉、理解包络和奇解的概念，会求解可莱罗(Clairaut)方程；
4.高阶微分方程
1．熟悉齐次线性方程的解的性质与结构，熟练掌握非齐次线性方程与常数变易法；
2．熟练掌握常系数线性方程的解法与应用；
包括：常系数齐次线性方程和欧拉方程，非齐次线性方程、会用比较系数法与拉普拉斯(Laplace)变换法求解线性方程；
3．熟练掌握一些可降阶的方程的求解；
5.线性微分方程组
1．理解线性微分方程组存在唯一性定理；
2．理解线性微分方程组的一般理论；
3．理解矩阵指数expA的定义和性质，掌握基解矩阵的计算公式；
会应用拉普拉斯变换解线性微分方程组；
6. 非线性微分方程和稳定性
1．会分析线性系统与简单的非线性系统的平衡点（奇点）及极限环的稳定性；
2．会按线性近似确定微分方程组的稳定性，Lyapunov第二方法；
二、参考书

1．《常微分方程》（第二版），王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，高等教育出版社，2000年；
2．《常微分方程》[俄] V.I 阿诺尔德著，科学出版社，2001