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概率论基础——中国科学院数学与系统科学研究院2006年硕士初试大纲

http://www.ezkaoyan.com 2006-4-18

硕士研究生入学考试《概率论基础》考试大纲

本《概率论基础》考试大纲适用于中国科学院研究生院管理科学与工程专业的硕士研究生入学考试。概率论是现代数学的重要分支，具有广泛的应用，是众多学科、专业的基础。其主要内容包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征以及大数定律和中心极限定理四大部分。要求考生对其基本概念有较深入的理解，熟练掌握概率的计算、若干基本分布及其应用以及随机变量数字特征的意义和计算方法，并具有综合运用所学知识分析并解决问题的能力。

一、考试内容
（一）随机事件和概率

1. 随机事件与样本空间、事件的运算及性质、事件的独立性
2．概率的定义、概率的基本性质、古典型概率、条件概率
3．概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯（Bayes）公式、独立重复试验

（二）随机变量及其分布
1．随机变量及其概率分布、随机变量的分布函数的概念及其性质
2．离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度、常见随机变量的分布
3．二维随机变量及其联合（概率）分布、二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布、二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度、常见二维随机变量的联合分布
4．条件分布
5．随机变量的独立性
6．随机变量的函数及其分布、两个连续型随机变量之和的概率分布
7．分布、t分布、F分布

（三）随机变量的数字特征

1. 随机变量的数学期望、方差、标准差以及它们的基本性质
2．随机变量函数的数学期望
3．切比雪夫（Chebyshev）不等式
4．两个随机变量的协方差及其性质
5．两个随机变量的相关系数及其性质
6．矩、众数、分位数的概念

（四）大数定律和中心极限定理

1. 切比雪夫（Chebyshev）大数定律、伯努利（Bernoulli）大数定律、辛钦（Khinchine）大数定律
2．泊松（Poisson）定理、棣莫弗一拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维一林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）

二、考试要求
（一）随机事件和概率

1．了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。
2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率；掌握概率的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式。
3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

（二）随机变量及其分布
1．理解随机变量及其分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量有关的事件的概率。
2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、超几何分布及其应用。
3．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握正态分布、均匀分布、指数分布及其应用
4．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本形式：掌握离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度；会利用二维概率分布求有关事件的概率。
5．理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。
6．掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义。
7．掌握根据自变量的概率分布求其较简单函数的概率分布的基本方法；会求两个随机变量之和的概率分布；了解产生变量、t变量和F变量的典型模式；理解标准正态分布、分布、t分布和F分布的分位数，会查相应的数值表。

（三）随机变量的数字特征

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩、众数、分位数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。
2．会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据随机变量X和Y的联合概率分布求其函数的数学期望。
3．掌握切比雪夫不等式。

（四）大数定律和中心极限定理

1．了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定律成立的条件及结论，理解其直观意义。
2．了解泊松定理的结论和应用条件，并会用泊松分布近似计算二项分布的概率。
3．了解棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理、列维一林德伯格中心极限定理的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
三、主要参考书目
1. 盛骤，谢式千，潘承毅：《概率论与数理统计（第三版）》。北京：高等教育出版社，2004。
2. 刘光祖：《概率论与应用数理统计》。北京：高等教育出版社，2000。